La théorie de la relativité d'échelle se donne pour but d'étudier les conséquences de l'abandon de l'hypothèse de différentiabilité du continuum espace-temps (autrement dit, ce qui se passe quand on ne peut plus définir de pente pour les coordonnées: voir figures). Trois conséquences, au minimum, apparaissent du fait de cette généralisation:

(i) L'espace-temps devient fractal, au sens où sa description géométrique nécessite de faire intervenir explicitement l'échelle de résolution à laquelle on le considère.

(ii) Il existe une infinité de trajectoires possibles (indéterminisme) quand une seule était attendue classiquement (déterminisme). Ces trajectoires sont définies comme les géodésiques (les lignes "les plus courtes") de l'espace-temps, et sont par conséquent elles-mêmes fractales. (Voir ci-contre des exemples d'une telle courbe, qui montre des structures à toutes les échelles ou au moins sur une large gamme d'échelles différentes).

(iii) Il y a irréversibilité sous l'inversion du temps au niveau infinitésimal (réflexion sur l'intervalle dt <--> -dt).

Ces trois effets sont alors combinés pour construire un opérateur de dérivation "covariante" par rapport au temps. Celui-ci décrit les effets induits par les structures fractales (en échelle) sur les déplacements dans l'espace. L'équation fondamentale de la dynamique newtonienne, écrite à l'aide de cet opérateur, s'intègre alors sous forme d'une équation de Schrödinger (l'équation fondamentale de la mécanique quantique non relativiste). Ses solutions permettent de calculer des distributions de probabilité, qu'on peut interpréter comme tendance du système à former des structures.

La théorie de la relativité d'échelle permet de poser d'une manière nouvelle le problème de la formation et de l'évolution des structures gravitationnelles. Par exemple, alors que, dans la théorie standard, aucune structure ne peut se former à partir d'un milieu de densité strictement constante (des fluctuations "initiales" sont nécessaires), des structures se forment naturellement dans la nouvelle approche, aux morphologies bien précises données par les divers modes quantifiés d'un oscillateur harmonique tridimensionnel isotrope (voir figure de gauche).

L'application aux systèmes planétaires consiste à traiter le même problème, mais maintenant dans le potentiel central képlerien d'une étoile. Comme dans le modèle standard de formation, les planètes sont supposées être formées par accrétion de planétésimaux. Cependant, les mouvements de ces petits corps dans la nébuleuse primitive sont tellement chaotiques qu'au delà d'une certaine échelle de temps (dépendant du système considéré), l'information sur les orbites individuelles se perd. On admet que les trois conditions ci-dessus sont alors réalisées, si bien que la distribution initiale de densité de probabilité de ces planétésimaux sera donnée par les solutions d'une équation de Schrödinger gravitationnelle (figure de droite). Les positions finales des planètes après accrétion se répartiront donc autour des pics de probabilité prévus par ces solutions.

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Quelques publications sur le sujet:

L. Nottale, Fractal Space-Time and Microphysics (World Scientific, 1993, 333 pp.)

L. Nottale, 1996, Astron. Astrophys. Lett. 315, L9: "Scale relativity and quantization of extra-solar planetary systems"

L. Nottale, 1996, Chaos, Solitons & Fractals, 7, 877: "Scale relativity and Fractal Space-Time: Applications to Quantum Physics, Cosmology and Chaotic Systems".

L. Nottale, G. Schumacher & J. Gay, 1997, Astron. Astrophys. 322, 1018: "Scale relativity and quantization of the Solar System".

L. Nottale, 1997, Astron. Astrophys. Lett. 327, 867: "Scale relativity and quantization of the Universe. I. Theoretical framework".

R. Hermann, G. Schumacher G., R. Guyard, 1998, Astron. Astrophys., 335, 281 "Scale relativity and quantization of the Solar System. Orbit quantization of the planet's satellites".

L. Nottale, 1998, "La relativité dans tous ses états: au-delà de l'espace-temps" (Hachette) 

Pour plus d'informations, voir le site: relativité d'échelle et espace-temps fractal