Avertissement: ces pages HTML sont consacrées aux concepts de Relativité d'Echelle et d'Espace-Temps Fractal. Pour plus de détails, on pourra se référer au livre (Fractal Space-Time and Microphysics, World Scientific, 1993), à un article de revue plus récent (1996), ainsi qu'aux livres grand public "La relativité dans tous ses états" (Hachette Littératures, 1998) et "Les arbres de l'évolution" (L. Nottale, J. Chaline et P. Grou, Hachette Littératures, 2000). Plus généralement, on peut consulter la bibliographie publiée sur le sujet, la liste d'articles téléchargeables, ou joindre l'auteur à l'adresse e-mail suivante: laurent.nottale@obspm.fr . Ces pages ont été développée à partir d'une première version réalisée par E. Lefèvre.
 

L'auteur:

L'origine

Le principe fondamental de la RE:

La méthode:

Le formalisme et ses conséquences:

• Les résolutions deviennent des variables à part entière, qui joue pour les transformations d'échelle le rôle que joue la vitesse en ce qui concerne le mouvement. Elles sont considérées comme définissant l'état d'échelle du système de coordonnées, de même que la vitesse définit son état de mouvement. Comme la vitesse, elles ne peuvent être définies que de manière relative: seul à un sens un rapport d'échelle, jamais une échelle absolue.
• Le principe de relativité, qui avait été appliqué jusqu'ici aux changements de position (Giordano Bruno), d'orientation et de petits mouvements inertiel (Galilée, Huygens), puis de mouvement inertiel quelconque (relativité restreinte du mouvement : Poincaré, Einstein), et enfin aux mouvements accélérés et à la gravitation (relativité générale du mouvement : Einstein), est étendu aux transformations d'échelles (sur les résolutions).
• Le principe de covariance met en oeuvre le principe de relativité au niveau des équations de la physique. La covariance d'échelle des équations de la physique signifie qu'elles doivent garder leur forme (la plus simple possible) dans les transformations d'échelle du système de coordonnées. La covariance faiblecorrespond au cas où les équations ont gardé, sous une transformation plus générale, la même forme que sous la transformation particulière précédente (exemple des équations du champ de gravitation d'Einstein, qui ont une forme semblable à l'équation de Poisson de la gravitation newtonienne, comprenant toujours un terme de source). La covariance forte correspond au cas où la forme la plus simple possible des équations est obtenue, celle du vide dépourvu de toutre force (c'est le cas de l'équation de la dynamique en relativité générale du mouvement d'Einstein, écrite comme équation des géodésiques).
• Le principe d'équivalence spécifie l'expression du principe de relativité-covariance pour un "objet" physique donné. Ainsi dans le cas du principe d'équivalence d'Einstein pour la gravitation, "un champ de gravitation est localement équivalent à un champ d'accélération". La gravitation peut être localement supprimée par le choix d'un système de coordonnées accéléré, et n'existe donc pas en soi, mais seulement de manière relative au système de référence.
• On généralise la géométrie de l' Espace-Temps, en gardant l'hypothèse de sa continuité, mais en abandonnant celle de sa différentiabilité.On rappelle que les variétés riemanniennes, sur lesquelles s'appuie la relativité générale d'Einstein, sont au moins de classe C2, c'est à dire deux fois différentiables, sauf éventuellement en certaines singularités. En relativité d'échelle, on considère des espaces partout ou presque partout non-différentiables.  On démontre alors le théorème, suivant lequel un espace continu et nondifférentiable est fractal.
• La covariance se met en oeuvre, dans la théorie de la relativité d'échelle, par l'introduction de dérivées covariantes, construites par une démarche analogue à celle de la construction de la dérivée covariantede la relativité générale. De même que cette dernière prend en compte dans l'opération de dérivation la propriété de courbure de la géométrie de l'espace-temps, ces nouveaux opérateurs de dérivation covariante prennent en compte les propriétés de non-dérivabilité et de fractalité de cette géométrie.
• On définit ainsi une nouvelle dérivée totale (prenant en compte les effets de la nondifférentiabilité), la dérivée covariante quantique,  qui permet d'écrire sous une même forme les équations des mécaniques classique et quantique. L'équation fondamentale de la dynamique de Newton est rendue covariante en y remplaçant la dérivée ordinaire par rapport au temps par la nouvelle dérivée covariante, et prend la forme d'une équation des géodésiques. Elle s'intègre alors sous forme de l'équation de Schrödinger (pour un nombre quelconque de dimensions), de celle de Klein-Gordon dans le cas relativiste, et de celles de Pauli et Dirac dans le cas plus général qui inclue le spin (lui-même fabriqué par la théorie). Ces résultats s'appliquent aussi bien à une seule qu'à plusieurs particules, en particulier indiscernables.
• Une dérivée covariante d'échelle prend en compte les effets de variation de la fractalité (pour lesquels les résolutions internes deviennent elles-mêmes variables en fonction de l'espace et du temps), ce qui se traduit par l'apparition de champs de jauge, abéliens (comme l'électromagnétisme) ou non-abéliens (comme les champs faible et fort) comme manifestations de la géométrie fractale de l'espace-temps.

• Existence de deux échelles asymptotiques, indépassables et invariantes sous les dilatations: l_P: longueur de Planck (échelle minimale) et L: longueur cosmologique (échelle maximale), dans le cadre de nouvelles lois d'échelle de forme "lorentzienne"
• Apparition naturelle de structures dans certains systèmes du fait de la théorie elle-même: auto-organisation spontanée.
• Organisation dans les systèmes chaotiques (aux très grandes échelles de temps relativement au temps de chaos).
• Description de type quantique macroscopique (non fondée sur la constante de Planck, mais sur une constante macroscopique spécifique du système considéré) de certains systèmes chaotiques au delà de leur horizon de prédictibilité (t >>20 t_chaos).

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Les preuves/tests expérimentaux et observationnels

La classification n'est qu'indicative car certains problèmes appartiennent à plusieurs catégories. Elle n'est par contre pas arbitraire car les 3 domaines de la microphysique, de la cosmologie et des systèmes chaotiques correspondent aux domaines d'application privilégiés de la RE: respectivement: dx et dt tendant vers zéro, dx tendant vers l'infini et dt tendant vers l'infini. Ce sont les trois frontières de la physique actuelle: l'infiniment petit, l'infiniment grand et l'infini de la complexité.

• Physique des particules: --> voir article de revue (1996) "Scale Relativity and Fractal Space-Time: Application to Quantum Physics..."
• convergence des constantes de couplage, y compris gravitationnelle, à l'échelle d'énergie de Planck.
• prédiction des échelles de grande unification et d'unification électrofaible
• prédiction des valeurs des constantes de couplage
• relations entre masses et charges des particules, permettant la prédiction de la masse de l'électron à partir de sa charge

 
• Cosmologie:  --->  article de revue sur ce sujet (2003): "Scale-relativistic cosmology" (PDF)
• solution au problème horizon/causalité sans inflation
• structures à grandes échelles de l'Univers: dimension fractale de la distribution des galaxies
• prédiction de la valeur et sens de la constante cosmologique
• solution au problème de la densité d'énergie du vide
• explication de la coïncidence des grands nombres de Dirac et principe de Mach

 
• Systèmes chaotiques:

 
• Structures gravitationnelles:
--->  article de revue sur ce sujet (2003): "Gravitational structure formation in scale relativity" (PDF)
• morphogénèse des systèmes gravitationnels
• prédiction théorique de la distribution des paramètres orbitaux et des masses des planètes dans le Système Solaire
• vérification dans les systèmes planétaires extra-solaires (voir catalogue d'exoplanètes).
• quantification des différences de vitesses dans les galaxies binaires
• autres effets de quantification: rayons stellaires, obliquités et inclinaisons dans le système solaire, satellites des planètes géantes, distribution des astéroïdes, étoiles doubles, zones de formation d'étoiles, structures galactiques, groupe local de galaxies, groupes compacts, amas et superamas de galaxies, structures à grande échelle... Comme prédit par la théorie, les structures observées à toutes ces échelles se ramènent à une unique constante fondamentale

 
• Sciences de la vie:
• Structure fractale des arbres évolutifs
• Morphogénèse et auto-organisation (dans l'espace et le temps)
• Hiérarchie d'organisation (dans l'espace des échelles)

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Bibliographie non exhaustive, liste de publications de l'auteur (tous sujets), liste de publications de l'auteur et d'autres auteurs sur la relativité d'échelle

• générale
• pulsars
• paires de galaxies

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Glossaire:

• Dr. Garnet Ord
• Dr. Felix Herrmann
• Raphaël Hermann
• Dr Gérard Schumacher
• Comptes rendus vulgarisés de la RE par d'autres auteurs: relativité d'échelle

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Galerie de portraits: